「分数にできる数」と「分数にできない数」は、どっちが多いの？

2019-09-30 (Mon)

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本日のキーワード　：　有理数、無理数

有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。

無理数（むりすう、英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数（比 = 英: ratio）として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。

本日の書物　：　『素数はなぜ人を惹きつけるのか』　竹内薫　朝日新聞出版

戦後の日本人は、正しい歴史を学校で教わって来ませんでした。

そして、現代のメディアもまた、嘘の情報を流し続けています。

私たち日本人は、親日的な立場に立ち、正しく認識し直し、

客観的に情勢を判断する必要があります。

それでは、この書物を見ていきましょう！

『　先に、自然数は物を数えるときの数であり、それには偶数と奇数があり、さらに【奇数】のうちに【素数】があるという話をしました。

　しかし、われわれは、そのほかに０やマイナス、分数、それから小数も使います。これらの数は一体どのように整理されるのでしょうか？これらの数は、自然数と違ってたしかに子どもには理解しにくい、"不自然"な側面があるのかもしれません。…

　たとえば、３分の２という【分数】を理解するには、自然数である２と３の【「比」】であるという【概念】を持つことが必要です。比は「比べる」という意味。つまり、２：３というふうに２と３の大きさを比べるんです。一方【小数】は、０・６６６６６６…という具合に、３分の２の【割り算を実行した数】のことです（ためしに２÷３を計算してみてください）。

　さらに【分数と小数の関係】も【重要】です。【小数であらわすことができる数】は、実は【２種類】あり、一つは【分数の形に変換できる数】、もう一つは【分数にはできない数】です。…

　【分数の形にできる】ということは、ようするに、…【比の形で書きあらわすことができる】ということです。そこで、この数を【「比が有る数」】、つまり【有比数】と呼ぶことができるでしょう。この言葉に聞き馴染みのない方もいるでしょうが、それはあたりまえ。なぜならば、この有比数という言葉は"竹内語"だからです。学校では、【「有理数」】と教わります。

　有比数は英語で【rational number】といいますが、このrationalとはどのような意味でしょうか。辞書を引くと一番初めに「合理的な」とありますが、実はもう一つ【「比の形にできる」】という意味があるのです。本来は、この後者の意味であるはずなのに、rational numberを日本語に訳すときに、「合理的な」の方を採用してしまったのです。ちょっと誤訳っぽいですよね。

　学校では「有理数」の他に「無理数」というものを教わります。【「無理数」】とは、【比の形にあらわすことができない小数点以下が無限に続いている数】なので、竹内語では【「無比数」】！

　この無比数の歴史は古く、古代ギリシャのピタゴラスが、正方形の対角線と辺の長さが整数の比にならないことに気づいていたともいわれます。あるいは円の直径と円周の関係（円周率π）も整数ではありませんね。正方形や円のような幾何学の基本的な図形にすら無比数が潜んでいるのです。

　ところが小数点以下が無限に続いていても、例外的に比の形にあらわすことができる場合もあります。たとえば０・３３３３３３…と３が永遠に続く数字（【循環小数】）は、３分の１です。ウソだと思うなら、１を３で割ってご覧なさい。永遠に計算が終わらないでしょう。このように、小数点以下が無限に続く終わりがない数でも有比数になることがあるんです。

　小数点以下の数が無限に続いている数が【有比数なのか無比数なのか】を知りたい！そんなときには、【「繰り返しのパターン」があるかどうかで判別】することができます。たとえば０・３２１３２１…という具合に「３２１」の繰り返しがあるような場合は、必ず有比数です。

　それに対して繰り返しのパターンが出てこない場合は無比数です。』

「＋×タイプ」と「×＋タイプ」を繋いだら、「＋＋タイプ」になる！

いかがでしょうか？

今回ご紹介させていただく書物は、「素数」について、数学や物理学のお話を中心に分かりやすく解説がなされていて、その流れの中で、いくつもの公式が登場してくるのですが、特徴的なのが、その数式は「観賞用」として載せられている点で、「数式そのものを楽しむ」という視点で書かれていて、数学が苦手な方でも十分に楽しんで頂ける良書となります。

さて、本日は早速本題に入らせて頂きたいと思いますが、ポール・クルーグマンの論文を読み進めていくうちに、次のような何だか意味不明な数式が登場してきました。

『　財が一つで、representative agent 経済（ただし、エージェントはそれぞれ自分の消費分は他人から買わなきゃいけない）を考える。はじめは、財が非弾性的に供給されるものとしよう。つまりそれぞれのエージェントが一定のほどこし yt を毎期ごとにもらえるものとしよう。具体性をつけるため、効用関数は以下のような形を取るものとする。』

この数式が何を意味しているのかが理解できない方にとっては、ここから先へと進むことができないのではないかと思い、少々お話から脱線させて頂いているところとなります。

何故ならば、この数式が理解できないのは、そもそも、書かれている数式が一体何を表現していて、それがどのように振舞うのかがイメージできないからでは？と当ブログでは考えています。

そこで、いま、函数（関数）というものについて、「足し算」と「掛け算」からなる４つのパターンに分類して、それらの数式が意味しているものをイメージできるようになるために、少しずつ書かせて頂いているところです。

つまり、昨日のところでも、「方程式」と「函数（関数）」の違いについて書かせて頂きましたが、「方程式」を解くのではなく、まずは「函数（関数）」がどのように振舞うのかを確認しているところということになります。

一昨日のところまで（→「消費税増税」と「お・つ・む・な・し」）に、２つの異なったパターンの「函数（関数）」を、“勝手に想像”して、それがどのように振舞うのかを考えました。

《　「＋＋タイプ」　：　足し算を足し算にする函数（関数）　》