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    親子チョコ💗(300冊以上の良質な書籍のご紹介)

    子どもたちの教育のため、また、その親である私たち自身が学ぶための、読まれるべき良質な書籍のみをご紹介させていただきます。

     >  科学・数学 >  1から順に無限まで足していったら・・・いくつになるの?

    1から順に無限まで足していったら・・・いくつになるの?

    blackboard_math_woman.jpg

    本日のキーワード : テイラー級数、テイラー展開



    数学においてテイラー級数 (英: Taylor series) は関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開という

    本日の書物 : 『素数はなぜ人を惹きつけるのか』 竹内薫 朝日新聞出版



    戦後の日本人は、正しい歴史を学校で教わって来ませんでした。

    そして、現代のメディアもまた、嘘の情報を流し続けています。

    私たち日本人は、親日的な立場に立ち、正しく認識し直し、

    客観的に情勢を判断する必要があります。

    それでは、この書物を見ていきましょう!




    『 【超ひも理論】【数学的に矛盾しないため】には、【時間と空間の総数が「11」でなくてはいけません】(11が潰れて10や4になるのはかまいません)。教科書には、その証明が書かれてあるのですが、そこに【ゼータ関数】が登場するのです。

    ゼータ函数 超ひも理論

    女性 驚き 両手挙げる

     詳しく見てみましょう

    ゼータ函数 超ひも理論 2

    と、【整数を足しています】ね(公式の意味は超ひも理論の参考文献をご覧ください)。

    ゼータ函数 超ひも理論 3

    これはゼータ関数「ζ(s)」に「s=-1」を代入したものです。

    ゼータ函数(関数)
    ゼータ函数(関数)

    でもこれでは【答えは無限大】になってしまいます

    悩む女の子2

    【物理学】では、【無限大が出てきたらおしまい】そこから先は計算不能になってしまいます。ですから、無限大なんとしてでも回避しなくてはいけません

     ここで【ゼータ関数】【恐るべき「変身」をする】のです!

    ゼータ函数 超ひも理論 2

    ゼータ函数 超ひも理論 4

     えええ? 

    驚き

    【1から順に無限まで足していったら、マイナス12分の1】になっちゃう? なにコレ~。いやあ、困りました。

    女性 驚き 20

     では、この一見むちゃくちゃな式理解するために、ちょっと次の計算をやってみてください

    これ 女性

    《 計算① 》

    ゼータ函数 超ひも理論 5

    xに0・1を代入する

    《 計算② 》

    ゼータ函数 超ひも理論 6

    xに0・1を代入する

     いかがでしょう?

    女性 悩む 02

    計算①は、1+0・1+0・01+…=1・11…になります。そして、計算②は、1/(1-0・1)=1/0・9=1・11…になります。つまり【2つの計算は一致する】のです。

    驚き 2

     実は、数学の【微分積分】の時間に、【テイラー展開】というものが出てきて、

    テイラー展開

    と展開できることを教わるのです。

    テイラー展開

    という等式が成り立つから、xに0・1を代入した結果が同じになるわけなのです。

     さて、ここで次のような困った状況を考えてみましょう。

    《 困った状況 》

    ある物理学理論に

    テイラー展開 2

    という関数が出てきたが、x=2のとき答えが無限大になってしまった!

    女性 ポイント ひとつ

     さきほどいったように、物理学では、無限大は御法度(ごはっと)です。いったいどうすれば【無限大を回避】できるでしょうか?

    そう、もうおわかりのように、【f(x)を「変身」させ】て、

    テイラー展開 3

    という形を使えばいいのです。

    ポイント 32

    【この変身後の関数】なら、【x=2を代入しても、1/(1-2)=-1】となって、【問題は生じません】!』

    日の丸

    「階乗」記号を用いてシンプルに表す


    いかがでしょうか?

    今回ご紹介させていただく書物は、「素数」について数学や物理学のお話を中心分かりやすく解説がなされていて、その流れの中で、いくつもの公式が登場してくるのですが、特徴的なのが、その数式は「観賞用」として載せられている点で、「数式そのものを楽しむ」という視点で書かれていて、数学が苦手な方でも十分に楽しんで頂ける良書となります。

    読書 10-039

    さて、本文中に登場していた、
    ゼータ函数 超ひも理論 4

    という式を理解するために、

    テイラー展開

    という等式が成り立つことを知っている必要がある、と書かれていましたが、何か狐につままれたような不思議な気持ちになるのではないでしょうか?

    ポイント 000

    また、ある物理学理論に次のような函数(関数)が出てきて・・・とも書かれていましたが、
    テイラー展開 2
    これも、何だか奇妙な形をしていますね💗

    現時点で、当ブログでも、何が何なのだかサッパリ理解できません(笑)

    ですが、昨日までのところで、目下取り組んでおります課題を振り返ってみますと、

    無題

    というような函数(関数)「M(x)」が、何らかの数「c」(添え字は、それぞれの「c」が別々であることを区別するために付けています)と、そこに掛け算される「x」からなる「足し算」と「掛け算」で表される函数(関数)で、これは、学校のお勉強「多項式」という名前で呼ばれているわけですが、この何だかよく分からない函数(関数)を、もっと簡単に分かるような形に変形させてその正体を暴いてしまおう!って考えているところなのですが、何となくこの2つの式が似ている(実際、似ているどころか、同じですがw cを1として、右辺の初項にxのゼロ乗が掛けられていることを想像してみて下さい)ことにお気付きでございますでしょうか?

    女性 ポイント 10

    そこで、昨日のところまでを振り返ってみますと、もしも「x=0」だったら

    多項式1

    であることが分かりました。そして、今度は「M(x)」という函数(関数)微分してみますと、

    多項式3

    となり、さきほどと同様に、もしも「x=0」だったら

    多項式4

    となることが分かりました。

    そして、さらに「M(x)」という函数(関数)微分(2回目の微分)してみますと、

    多項式5

    となり、またまた同様に、もしも「x=0」だったら、結局、

    多項式6

    となります。ここで、何らかの数「c」について考えますと、

    多項式7

    と表せることが分かります。

    ポイント 23

    ここまでの流れを整理致しますと、

    無題

    という函数(関数)を、n回微分する(=導関数を求める)と、もとの式の、

    多項式9

    の項よりも左側にあるすべての項が消えて先頭になるのが

    多項式10

    で、そこで、「x=0」とすると先頭の項以外すべて「x」を含んでいますのでそれらもすべて消えます

    あとは、n回微分したときに、前にくる「べき」の部分を考えてみますと、

    多項式8

    御覧のように、右辺にある「x」の前の部分に、一定のパターンがあることに気付きます。

    ここで、

    多項式11

    という函数(関数)を、n回微分したものを、

    多項式12

    と表すことに決めます。そう致しますと、

    多項式13´

    と表現できることになります。ところが、下線部分は、ただの「1」になります(xの0乗は1)ので、nから1までのすべての数を掛け合わせたものとなることが分かります。

    ポイント 21

    そのnから1までのすべての数を掛け合わせたものを、数学では「階乗(かいじょう)」と呼び、「n!」と表します。

    階乗

    少し例を挙げておきますと、こんな感じになります。

    階乗2

    最後に、ここまでのことをまとめますと、

    多項式11

    n回微分すると、

    多項式14

    と表せることになる、ということになります。


    続きは次回に♥




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