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    親子チョコ💗(300冊以上の良質な書籍のご紹介)

    子どもたちの教育のため、また、その親である私たち自身が学ぶための、読まれるべき良質な書籍のみをご紹介させていただきます。

     >  科学・数学 >  円周率の「π(パイ)」と素数に関する函数(関数)の「π(パイ)」

    円周率の「π(パイ)」と素数に関する函数(関数)の「π(パイ)」

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    本日のキーワード : 素数



    素数(そすう、英: prime number)とは、1 より大きい自然数で正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる

    本日の書物 : 『素数はなぜ人を惹きつけるのか』 竹内薫 朝日新聞出版



    戦後の日本人は、正しい歴史を学校で教わって来ませんでした。

    そして、現代のメディアもまた、嘘の情報を流し続けています。

    私たち日本人は、親日的な立場に立ち、正しく認識し直し、

    客観的に情勢を判断する必要があります。

    それでは、この書物を見ていきましょう!




    『 次に登場する大物は【カール・フリードリヒ・ガウス】です。

    カール・フリードリヒ・ガウス
    カール・フリードリヒ・ガウス

    彼は1849年に天文学者のヘンケという人に手紙を書きました。そこでは、【ある大きさまでの素数が何個あるか】ということを知るための【「近似式」】が明らかにされていました。このあたりから人類は、【素数の規則性】を探す方向に向かって突き進んでいきます。

     ガウスが発見した近似を説明するため、まず、【「0から整数xまでの間に素数がいくつあるか」】【π(x)】という記号であらわすことにしましょう(これは【関数】であり、円周率のπとは関係ありません)。

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    たとえば、x=5の場合、素数は2、3、5の3つだけなので、π(5)=3個、同様に、0から100までの間に素数は25個あるので、π(100)=25個などとなります。【このπ(x)はグラフであらわすとxが素数のところで一段あがる】【階段の形】をしているので、【「素数階段」】と呼ばれています。

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     この素数階段がすぐに計算できれば嬉しいのですが、これは【超難問】であり、まずは【近似から始める】しかありません。その第一近似をガウスが発見したのです。それはこんな恰好をしています。

    《 ガウスの素数公式① 》

    ガウス素数公式1

     【「~」は「近似」】という意味です。【lnは「自然対数」】。学校で対数を教わった人は、

    log10101.jpg

    log101002.jpg

    などという対数の計算を覚えているでしょう。底(てい)が10の対数を【常用対数】といいます(まさに常用される対数だからこう呼びます)。【対数】というと、なんか難しいイメージがあるかもしれませんが、これはようするに【「桁を取り出す装置」】なのです。

    女性 ポイント ひとつ

    10は1桁なので、10の対数は「1」ですし、100は2桁なので、100の対数は「2」なのです…。失礼、桁といいましたが、【正確には1つズレています】ね。ようするに「10のナントカ乗」のナントカの部分を取り出す装置なんです。10は10の1乗100は10の2乗ですよね。

     で、【lnは10のかわりにeが底(てい)】なので、【「eのナントカ乗」のナントカの部分を取り出す装置】なんです。

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    【自然界の桁を取り出す関数】なんですね。

    ポイント 000

    ガウス版の素数公式は、xをlnxで割るという、きわめてカンタンな形をしています。』

    日の丸

    「++タイプ」と「+×タイプ」と「×+タイプ」の函数と特殊な数「e」


    いかがでしょうか?

    今回ご紹介させていただく書物は、「素数」について数学や物理学のお話を中心分かりやすく解説がなされていて、その流れの中で、いくつもの公式が登場してくるのですが、特徴的なのが、その数式は「観賞用」として載せられている点で、「数式そのものを楽しむ」という視点で書かれていて、数学が苦手な方でも十分に楽しんで頂ける良書となります。

    読書 10-036

    さて、昨日同様の展開になっているのですが、本日ご紹介させて頂いております本文中に、突如「ガウスの素数公式」なるものが登場してきました!

    ガウス素数公式1

    驚き

    そもそも、「~」は「近似」という意味、とは言われても一体何のこと?って感じがされませんでしょうか(笑)

    面倒なので、ここでは、「~(チルダ)」と読んで「近似」という意味なんだって丸暗記しておきましょう。イメージ「≒」みたいな感じ💗

    兎に角、そんなことは横に置いておくと致しまして、目下の課題を解決していきたいと考えている次第なのですが、ポール・クルーグマンの論文を読み進めていくうちに、次のような何だか意味不明な数式が登場してきてしまって、

    これ 女性

    『 財が一つで、representative agent 経済(ただし、エージェントはそれぞれ自分の消費分は他人から買わなきゃいけない)を考える。はじめは、財が非弾性的に供給されるものとしよう。つまりそれぞれのエージェントが一定のほどこし yt を毎期ごとにもらえるものとしよう。具体性をつけるため、効用関数は以下のような形を取るものとする。』

    クルーグマンモデル

    悩む 女性 1001

    恐らく多くの方々が困惑してしまうということを前提として、目下、当ブログでは少々お話から脱線させて頂いているところとなります。

    そこで、本日は、一体何をやっているのか「迷子」にならないようにするために、これまでの流れを再確認させて頂きます。

    いま、函数(関数)というものについて、「足し算」と「掛け算」からなる4つのパターン分類して、それらの数式が意味しているものイメージできるようになるために少しずつ書かせて頂いているところです。

    簡単に申し上げますと、「方程式」を解くのではなくまずは「函数(関数)」がどのように振舞うのかを確認しているところということになります。

    そして、これまでに分かったことを挙げてみますと、次のようになります。

    これ 女性

    《 「++タイプ」 : 足し算を足し算にする函数(関数) 》

    ++タイプ

    という形をした、足し算を足し算にしている函数(関数)を、「++タイプ」と名付け、それが「どのように振舞うのか」を考えてみますと、cを定数とした場合に、

    ++タイプ 9

    という“直線の形”をしている、ということが判明しました(→消費税増税の実施はあくまでもその時点での経済状況の判断に依存するもの、なはずなのですが。。。)。

    一次関数 原点

    《 「+×タイプ」 : 足し算を掛け算にする函数(関数) 》

    +×タイプ

    という形をした、足し算を掛け算にしている函数(関数)を、「+×タイプ」と名付け、それが「どのように振舞うのか」を考えてみますと、cを定数とした場合に、

    +×タイプ21

    となりますが、式の中にある「c」は何らかの数であって、正体不明の数である「f(1)」「c」と表しただけ(→「消費税増税」と「お・つ・む・な・し」)であって、その「c」が変わるたびに、異なった「+×タイプ」の函数(関数)が存在しているはずなので、それらを区別するため小さく添え字をつけて表すと、

    +×タイプ100

    次のように振舞うことが判明しました。

    1280px-Exp.jpg

    この函数(関数)は、「c」が正の数(つまり、「c>0」)かつ「1ではない」(c≠1)“曲線の形”をした函数(関数)になりますが、これを一般に、「指数関数」と呼びます。

    ただしこの「+×タイプ」の函数(関数)の中には、ある一つの特別な函数(関数)「E」があって、それは以下の条件を満たすものなのですが、

    E 特別

    この微分しても(導関数を求めても)自分自身の導関数と等しくなる(=微分しても変わらない)特別な唯一の函数(関数)を成り立たせるための特別な数、それを「e」と表すことにして、次のように表現することにしました。

    E 特別 2

    しかし、この「e」の正体が何なのかは、現時点では知りません

    そう言えば、本文中にも「e」が登場していたような気が・・・

    悩む女の子2

    《 「×+タイプ」 : 掛け算を足し算にする函数(関数) 》

    ×+タイプ

    それが、どのように振舞うのかはまだサッパリと分かっていませんが、

    ×+タイプ19

    という数式が成り立つ函数(関数)であるということだけ判明しました。

    ただし、このタイプの函数(関数)の重要な定義として、

    ×+タイプ15

    を満たすような「×+タイプ」の函数(関数)

    ×+タイプ16

    と表すこととし、その場合、「×+タイプ」の「g」と「+×タイプ」の「f」お互いに相殺することになり、「c」が変わるたびに、異なった「+×タイプ」の函数(関数)が存在し、同時に、それと対になる「×+タイプ」の函数(関数)が存在しています。

    ということは、その「+×タイプ」の函数(関数)の中に存在している、ある一つの特別な函数(関数)「E」対になっている「×+タイプ」の函数(関数)が存在していることになります。

    それを2通りの表し方で示しますと、次のようになります。

    E 特別 3

    しかし、それが何なのかは、サッパリと分かりませんが(笑)

    何となく本文中の次の式に形が似てなくもないような気が・・・

    log10101.jpg

    log101002.jpg

    悩む女の子2

    ということで、本日はここまでとさせて頂きます。


    続きは次回に♥




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