円周率の「π（パイ）」と素数に関する函数（関数）の「π（パイ）」

2019-10-02 (Wed)

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本日のキーワード　：　素数

素数（そすう、英: prime number）とは、1 より大きい自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。

本日の書物　：　『素数はなぜ人を惹きつけるのか』　竹内薫　朝日新聞出版

戦後の日本人は、正しい歴史を学校で教わって来ませんでした。

そして、現代のメディアもまた、嘘の情報を流し続けています。

私たち日本人は、親日的な立場に立ち、正しく認識し直し、

客観的に情勢を判断する必要があります。

それでは、この書物を見ていきましょう！

『　次に登場する大物は【カール・フリードリヒ・ガウス】です。

カール・フリードリヒ・ガウス

彼は１８４９年に天文学者のヘンケという人に手紙を書きました。そこでは、【ある大きさまでの素数が何個あるか】ということを知るための【「近似式」】が明らかにされていました。このあたりから人類は、【素数の規則性】を探す方向に向かって突き進んでいきます。

　ガウスが発見した近似を説明するため、まず、【「０から整数xまでの間に素数がいくつあるか」】を【π（x）】という記号であらわすことにしましょう（これは【関数】であり、円周率のπとは関係ありません）。

たとえば、x＝５の場合、素数は２、３、５の３つだけなので、π（５）＝３個、同様に、０から１００までの間に素数は２５個あるので、π（１００）＝２５個などとなります。【このπ（x）はグラフであらわすとxが素数のところで一段あがる】、【階段の形】をしているので、【「素数階段」】と呼ばれています。

　この素数階段がすぐに計算できれば嬉しいのですが、これは【超難問】であり、まずは【近似から始める】しかありません。その第一近似をガウスが発見したのです。それはこんな恰好をしています。

《　ガウスの素数公式①　》

　【「～」は「近似」】という意味です。【lnは「自然対数」】。学校で対数を教わった人は、

などという対数の計算を覚えているでしょう。底（てい）が１０の対数を【常用対数】といいます（まさに常用される対数だからこう呼びます）。【対数】というと、なんか難しいイメージがあるかもしれませんが、これはようするに【「桁を取り出す装置」】なのです。

１０は１桁なので、１０の対数は「１」ですし、１００は２桁なので、１００の対数は「２」なのです…。失礼、桁といいましたが、【正確には１つズレています】ね。ようするに「１０のナントカ乗」のナントカの部分を取り出す装置なんです。１０は１０の１乗、１００は１０の２乗ですよね。

　で、【lnは１０のかわりにeが底（てい）】なので、【「eのナントカ乗」のナントカの部分を取り出す装置】なんです。

【自然界の桁を取り出す関数】なんですね。

ガウス版の素数公式は、xをlnxで割るという、きわめてカンタンな形をしています。』

「＋＋タイプ」と「＋×タイプ」と「×＋タイプ」の函数と特殊な数「e」

いかがでしょうか？

今回ご紹介させていただく書物は、「素数」について、数学や物理学のお話を中心に分かりやすく解説がなされていて、その流れの中で、いくつもの公式が登場してくるのですが、特徴的なのが、その数式は「観賞用」として載せられている点で、「数式そのものを楽しむ」という視点で書かれていて、数学が苦手な方でも十分に楽しんで頂ける良書となります。

さて、昨日同様の展開になっているのですが、本日ご紹介させて頂いております本文中に、突如、「ガウスの素数公式」なるものが登場してきました！

そもそも、「～」は「近似」という意味、とは言われても、一体何のこと？って感じがされませんでしょうか（笑）

面倒なので、ここでは、「～（チルダ）」と読んで「近似」という意味なんだって、丸暗記しておきましょう。イメージは「≒」みたいな感じ💗

兎に角、そんなことは、横に置いておくと致しまして、目下の課題を解決していきたいと考えている次第なのですが、ポール・クルーグマンの論文を読み進めていくうちに、次のような何だか意味不明な数式が登場してきてしまって、

『　財が一つで、representative agent 経済（ただし、エージェントはそれぞれ自分の消費分は他人から買わなきゃいけない）を考える。はじめは、財が非弾性的に供給されるものとしよう。つまりそれぞれのエージェントが一定のほどこし yt を毎期ごとにもらえるものとしよう。具体性をつけるため、効用関数は以下のような形を取るものとする。』

恐らく多くの方々が、困惑してしまうということを前提として、目下、当ブログでは少々お話から脱線させて頂いているところとなります。

そこで、本日は、一体何をやっているのか「迷子」にならないようにするために、これまでの流れを再確認させて頂きます。

いま、函数（関数）というものについて、「足し算」と「掛け算」からなる４つのパターンに分類して、それらの数式が意味しているものをイメージできるようになるために、少しずつ書かせて頂いているところです。

簡単に申し上げますと、「方程式」を解くのではなく、まずは「函数（関数）」がどのように振舞うのかを確認しているところということになります。

そして、これまでに分かったことを挙げてみますと、次のようになります。

《　「＋＋タイプ」　：　足し算を足し算にする函数（関数）　》

という形をした、足し算を足し算にしている函数（関数）を、「＋＋タイプ」と名付け、それが「どのように振舞うのか」を考えてみますと、ｃを定数とした場合に、

という“直線の形”をしている、ということが判明しました（→消費税増税の実施はあくまでもその時点での経済状況の判断に依存するもの、なはずなのですが。。。）。

《　「＋×タイプ」　：　足し算を掛け算にする函数（関数）　》

という形をした、足し算を掛け算にしている函数（関数）を、「＋×タイプ」と名付け、それが「どのように振舞うのか」を考えてみますと、ｃを定数とした場合に、

となりますが、式の中にある「c」は何らかの数であって、正体不明の数である「f（1）」を「c」と表しただけ（→「消費税増税」と「お・つ・む・な・し」）であって、その「c」が変わるたびに、異なった「＋×タイプ」の函数（関数）が存在しているはずなので、それらを区別するために小さく添え字をつけて表すと、

次のように振舞うことが判明しました。

この函数（関数）は、「c」が正の数（つまり、「c＞０」）かつ「１ではない」（c≠１）、“曲線の形”をした函数（関数）になりますが、これを一般に、「指数関数」と呼びます。

ただし、この「＋×タイプ」の函数（関数）の中には、ある一つの特別な函数（関数）「E」があって、それは以下の条件を満たすものなのですが、

この微分しても（導関数を求めても）、自分自身の導関数と等しくなる（＝微分しても変わらない）、特別な唯一の函数（関数）を成り立たせるための、特別な数、それを「e」と表すことにして、次のように表現することにしました。

しかし、この「e」の正体が何なのかは、現時点では知りません。

そう言えば、本文中にも「e」が登場していたような気が・・・

《　「×＋タイプ」　：　掛け算を足し算にする函数（関数）　》

それが、どのように振舞うのかは、まだサッパリと分かっていませんが、

という数式が成り立つ函数（関数）であるということだけ判明しました。

ただし、このタイプの函数（関数）の重要な定義として、

を満たすような「×＋タイプ」の函数（関数）を

と表すこととし、その場合、「×＋タイプ」の「g」と、「＋×タイプ」の「f」はお互いに相殺することになり、「c」が変わるたびに、異なった「＋×タイプ」の函数（関数）が存在し、同時に、それと対になる「×＋タイプ」の函数（関数）が存在しています。

ということは、その「＋×タイプ」の函数（関数）の中に存在している、ある一つの特別な函数（関数）「E」と対になっている「×＋タイプ」の函数（関数）が存在していることになります。

それを２通りの表し方で示しますと、次のようになります。