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     >  科学・数学 >  函数(関数)の眺め方

    函数(関数)の眺め方

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    本日のキーワード : オイラー積、函数(関数)



    オイラー積(-せき、英: Euler product)はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。

    本日の書物 : 『素数はなぜ人を惹きつけるのか』 竹内薫 朝日新聞出版



    戦後の日本人は、正しい歴史を学校で教わって来ませんでした。

    そして、現代のメディアもまた、嘘の情報を流し続けています。

    私たち日本人は、親日的な立場に立ち、正しく認識し直し、

    客観的に情勢を判断する必要があります。

    それでは、この書物を見ていきましょう!




    『 さて、ここからいきなり、話が近代に飛びます。多くの人が知っている【レオンハルト・オイラー】(1707~1783)と【素数】のかかわりについて述べましょう。

    レオンハルト・オイラー
    レオンハルト・オイラー

     オイラーといえば、【「世界一美しい数式」】の異名をとる、【オイラーの等式】を発見したことで有名です。

    オイラーの等式 1

     この式の左辺にある【eはネイピア数】というもので、

    e=2.718281828459045235360287471352…

    という具合に【小数点以下が無限】に続きます。【ネイピア数】【「自然対数の底(てい)」】とも呼ばれます。…英語では【base(ベース)】。これは、いわば【「自然界の桁」みたいなもの】。われわれは10、100、1000というふうに10で桁をあらわしますが、【自然現象の場合、10ではなくeが桁の役割をになうことが多い】のです。

    女性 ポイント ひとつ

     オイラーの等式の左辺に出てくる【iは虚数単位】で、【2乗すると-1になります】【πは円周率】ですね。【自然対数の底を虚数単位乗して、π乗して、1を足すと…0になる】。ここには、【数学の基本的な定数同士の実に不思議な関係性があらわれている】のです。

    ポイント 女性

     そんなオイラーは1748年に刊行した本で、【オイラー積】という公式を発表しています。この本で扱っている【素数との関係】では、オイラー積は次のようにあらわされます

    オイラー積

     なんでしょう、コレ? 【左辺は足し算】になっていて、【右辺は掛け算】になっていますね。また、【左辺の分母】には、1のs乗2のs乗3のs乗…というように【自然数】があらわれ、【右辺】には2のs乗3のs乗5のs乗…というように【素数】があらわれています。ここで【sは変数】で、いろいろな値を取ることができ、実数でなく複素数でもかまいません。

     変数sがあることからおわかりのように、【これは、一種の関数】で、【ζ(s)】という記号であらわし【「ゼータ関数」】と呼びますこのゼータ関数は【素数と非常に関係が深く】次の章の主人公になります

    ポイント 32

     さて、この【オイラー積】【重要な理由】は、【左辺の自然数】【右辺の素数】が、【公式によってイコールになること】。つまり、【自然数を知るためには素数を知ればいい】といえるのです(足し算と掛け算という違いはありますが)。素数が非常に重要な数であるということは、昔からわかっていたのですが、【素数さえ知ってしまえば、数の性質がすべてわかってしまう】と言っても過言ではないのですね。』

    日の丸

    何だか良く分からない函数(関数)も、その形だけに注目すると・・・


    いかがでしょうか?

    今回ご紹介させていただく書物は、「素数」について数学や物理学のお話を中心分かりやすく解説がなされていて、その流れの中で、いくつもの公式が登場してくるのですが、特徴的なのが、その数式は「観賞用」として載せられている点で、「数式そのものを楽しむ」という視点で書かれていて、数学が苦手な方でも十分に楽しんで頂ける良書となります。

    読書 10-035

    さて、本文中突然「オイラー積」なる公式が登場していましたが、このタイプの函数(関数)は、「ゼータ函数(関数)」と呼ばれ、次のような形をしています。

    ゼータ函数(関数)

    とは言われても一体何のこと?って感じがされませんでしょうか(笑)

    それと同様に、ポール・クルーグマンの論文を読み進めていくうちに、次のような何だか意味不明な数式が登場してきてしまって、

    これ 女性

    『 財が一つで、representative agent 経済(ただし、エージェントはそれぞれ自分の消費分は他人から買わなきゃいけない)を考える。はじめは、財が非弾性的に供給されるものとしよう。つまりそれぞれのエージェントが一定のほどこし yt を毎期ごとにもらえるものとしよう。具体性をつけるため、効用関数は以下のような形を取るものとする。』

    クルーグマンモデル

    悩む 女性 1001

    恐らく多くの方々が困惑してしまうということを前提として、目下、当ブログでは少々お話から脱線させて頂いているところとなります。

    で、昨日のところで何が分かったのかと申しますと、足し算を掛け算にする函数(関数)である「+×タイプ」と、

    +×タイプ

    掛け算を足し算にする函数(関数)である「×+タイプ」繋げてみたら

    ×+タイプ

    足し算を足し算にする函数(関数)である「++タイプ」なっちゃったけど・・・

    ×+タイプ7

    何なの、コレ?

    女性 悩む 02

    という状況になります。

    そう言えば、さきほどの「オイラー積」の公式って、左辺は足し算になっていて、右辺は掛け算になっていて・・・つまりは・・・
     
    オイラー積

    まあ、そんなことは気にせずに、先へと進むことに致しましょう💗

    女性 ポイント 10

    「++タイプ」であれば、cを定数とした場合に、

    ++タイプ 9

    となることは既に理解していますので、「+×タイプ」の「f」の出力部分と「×+タイプ」の「g」の入力部分を繋いだ函数(関数)の「h(x)」は、

    ×+タイプ5

    「++タイプ」であれば、aを定数とした場合に、

    ×+タイプ8

    となるはずです。でもその「a」という数は不明なままです。

    悩む女の子2

    その「a」を特定するために、「x=1」としてみますと・・・

    ×+タイプ9

    右辺は「a掛ける1」で「a」になります。そして、これを先ほどの式に放り込んでみますと、

    ×+タイプ10

    となります。

    ×+タイプ10´

    上の式の下線部分は、もともと「a」という不明な数でした。もちろん、現時点でも不明なままです。

    でも、もしもその不明な数「1」であればどうなるでしょうか?

    ×+タイプ11

    それを先ほどの下線部分に放り込んでみると、

    ×+タイプ12

    となりました。ここから分かることは、不明な数の部分が「1」であればどんな「×+タイプ」の「g」にどんな「+×タイプ」の「f」投入してもそれらは相殺されて(別の言い方をすれば、逆に作用して)「x」に入れたものがそのまま飛び出してくる装置になるということです。

    ポイント 21

    ここで、「+×タイプ」は、次のような形をしているということが、既に分かっているのですが、

    +×タイプ21

    この式の中にある「c」は何らかの数であって、正体不明の数である「f(1)」「c」と表しただけでした(→「消費税増税」と「お・つ・む・な・し」)。そして、その「c」が変わるたびに、異なった「+×タイプ」の函数(関数)が存在しているはずなので、それらを区別するため小さく添え字をつけて、

    +×タイプ100

    と表すことにします。そうすると、先ほど登場した次の式に、

    ×+タイプ10´

    添え字をつけて、まとめますと、次のような関係になります。

    ×+タイプ13

    そして、一番右側部分の「g(c)」が「1」であれば

    ×+タイプ14

    「×+タイプ」の「g」と「+×タイプ」の「f」お互いに相殺することになりますので、「c」が変わるたびに、異なった「+×タイプ」の函数(関数)が存在し、同時に、それと対になる「×+タイプ」の函数(関数)が存在しているはずですので、こちらも区別するために添え字を付けて、

    ×+タイプ15

    を満たすような「×+タイプ」の函数(関数)

    ×+タイプ16

    と表すこととします。

    たとえば、「+×タイプ」の函数(関数)で、

    +×タイプ100

    「c=2」であれば、

    ×+タイプ17

    それと対となる「×+タイプ」の函数(関数)は、

    ×+タイプ15

    同様に「c=2」として、次の式を満たす函数(関数)になります。

    ×+タイプ18

    それでは、最後にまとめておきますと、掛け算を足し算にする函数(関数)である「×+タイプ」は、

    ×+タイプ

    それが、どのように振舞うのかはまだサッパリと分かっていませんが、

    ×+タイプ19

    という数式が成り立つ函数(関数)であるということだけ判明しました。


    続きは次回に♥




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