函数（関数）の眺め方

2019-10-01 (Tue)

本日のキーワード　：　オイラー積、函数（関数）

オイラー積（-せき、英: Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。

本日の書物　：　『素数はなぜ人を惹きつけるのか』　竹内薫　朝日新聞出版

戦後の日本人は、正しい歴史を学校で教わって来ませんでした。

そして、現代のメディアもまた、嘘の情報を流し続けています。

私たち日本人は、親日的な立場に立ち、正しく認識し直し、

客観的に情勢を判断する必要があります。

それでは、この書物を見ていきましょう！

『　さて、ここからいきなり、話が近代に飛びます。多くの人が知っている【レオンハルト・オイラー】（１７０７～１７８３）と【素数】のかかわりについて述べましょう。

レオンハルト・オイラー

　オイラーといえば、【「世界一美しい数式」】の異名をとる、【オイラーの等式】を発見したことで有名です。

　この式の左辺にある【eはネイピア数】というもので、

e＝2.718281828459045235360287471352…

という具合に【小数点以下が無限】に続きます。【ネイピア数】は【「自然対数の底（てい）」】とも呼ばれます。…英語では【base（ベース）】。これは、いわば【「自然界の桁」みたいなもの】。われわれは１０、１００、１０００というふうに１０で桁をあらわしますが、【自然現象の場合、１０ではなくeが桁の役割をになうことが多い】のです。

　オイラーの等式の左辺に出てくる【iは虚数単位】で、【２乗すると－１になります】。【πは円周率】ですね。【自然対数の底を虚数単位乗して、π乗して、１を足すと…０になる】。ここには、【数学の基本的な定数同士の実に不思議な関係性があらわれている】のです。

　そんなオイラーは１７４８年に刊行した本で、【オイラー積】という公式を発表しています。この本で扱っている【素数との関係】では、オイラー積は、次のようにあらわされます。

　なんでしょう、コレ？【左辺は足し算】になっていて、【右辺は掛け算】になっていますね。また、【左辺の分母】には、１のs乗、２のs乗、３のs乗…というように【自然数】があらわれ、【右辺】には２のs乗、３のs乗、５のs乗…というように【素数】があらわれています。ここで【sは変数】で、いろいろな値を取ることができ、実数でなく複素数でもかまいません。

　変数sがあることからおわかりのように、【これは、一種の関数】で、【ζ（s）】という記号であらわし、【「ゼータ関数」】と呼びます。このゼータ関数は、【素数と非常に関係が深く】、次の章の主人公になります。

　さて、この【オイラー積】が【重要な理由】は、【左辺の自然数】と【右辺の素数】が、【公式によってイコールになること】。つまり、【自然数を知るためには素数を知ればいい】といえるのです（足し算と掛け算という違いはありますが）。素数が非常に重要な数であるということは、昔からわかっていたのですが、【素数さえ知ってしまえば、数の性質がすべてわかってしまう】と言っても過言ではないのですね。』

何だか良く分からない函数（関数）も、その形だけに注目すると・・・

いかがでしょうか？

今回ご紹介させていただく書物は、「素数」について、数学や物理学のお話を中心に分かりやすく解説がなされていて、その流れの中で、いくつもの公式が登場してくるのですが、特徴的なのが、その数式は「観賞用」として載せられている点で、「数式そのものを楽しむ」という視点で書かれていて、数学が苦手な方でも十分に楽しんで頂ける良書となります。

さて、本文中に突然、「オイラー積」なる公式が登場していましたが、このタイプの函数（関数）は、「ゼータ函数（関数）」と呼ばれ、次のような形をしています。

とは言われても、一体何のこと？って感じがされませんでしょうか（笑）

それと同様に、ポール・クルーグマンの論文を読み進めていくうちに、次のような何だか意味不明な数式が登場してきてしまって、

『　財が一つで、representative agent 経済（ただし、エージェントはそれぞれ自分の消費分は他人から買わなきゃいけない）を考える。はじめは、財が非弾性的に供給されるものとしよう。つまりそれぞれのエージェントが一定のほどこし yt を毎期ごとにもらえるものとしよう。具体性をつけるため、効用関数は以下のような形を取るものとする。』