学校教師が理解していない、「方程式の解」と「恒等式の証明」

2019-11-08 (Fri)

本日のキーワード　：　恒等式、証明

恒等式（こうとうしき、英: identity）は、恒真な等式、すなわち等号 (=) を含む数式であって、そこに現れるあらゆる変数がどのような値にあっても、常に等号で結ばれた左右二つの数式の "値" が等しいもののことを言う。恒等式であることを明示するとき、= の代わりに ≡ が使われる。

証明（しょうめい）とは、ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。また、その内容。

（数学、記号論理学における証明）

ある命題が正しいことを主張するための一連の演繹を証明 (英: Mathematical proof) と呼ぶ。証明の各段階においては、前提（公理、定理等の認められた事実）や仮定から推論規則によって新たな命題を導くという形態をとる。ある証明の中で導入された仮定は、証明の別の部分で証明されるか、その証明の中で否定され（背理法）なければならない。

本日の書物　：　『数学嫌いな人のための数学　―　数学原論』　小室直樹　東洋経済新報社

戦後の日本人は、正しい歴史を学校で教わって来ませんでした。

そして、現代のメディアもまた、嘘の情報を流し続けています。

私たち日本人は、親日的な立場に立ち、正しく認識し直し、

客観的に情勢を判断する必要があります。

それでは、この書物を見ていきましょう！

『先生　：　

①

②

③

は恒等式です。

生徒　：　方程式（equation）と、どう違うんですか。

先生　：　

①

をよく御覧なさい。xがどんな数値のときにも成り立つでしょう。

生徒　：　確かに、x＝1のときでも、x＝5のときでも、x＝1000000のときでも、x＝-5のときでも、x＝1/3のときでも成り立ちますね。

先生　：　そこがポイントです。

②

も

③

でも、xがどんな数値のときにも成り立つでしょう。試しに、いろいろと入れてみて下さい。

生徒　：　いろいろ入れてみました。x＝1のときにも、x＝2のときにも、x＝10のときにも、②式は左辺も右辺も、4と4、9と9、121と121。また、③式は左辺も右辺も2、0、56となります。なるほど分かりました。で、【恒等式と方程式】とは、式が似てても、【どう違うんですか】？

先生　：　【方程式は解く（solve）】んです。【解を求める】んです。

を解けばx＝2が得られますが、これが【解（solution）】です。【根（root）】とも言います。

なら、因数分解して、

として、x＝2またはx＝3が解です。

生徒　：　【解】とは、【「その数値のときに、当該方程式が成り立つ数値」】という意味なんですか？

先生　：　そう、まさしくそうです。

生徒　：　【恒等式（identity）は解かない】、とはどういう意味なんですか？

先生　：　【恒等式】は、【恒（つね）に等しい】ですから、【解きようがありません】。

生徒　：　「解きようがない」とは、「その数値のときに、当該方程式が成り立つ数値」が求められないという意味ですか？

先生　：　いや、そうではありません。【恒に等しい】んですから、【そんな数値を求めようとすることが無意味である】という意味です。

生徒　：　「解く」のが無意味であるんなら、一体全体、【何をやれというの】ですか？

先生　：　【証明しろ（prove）】というんです。

生徒　：　へえ！何を証明するんですか？

先生　：　確かに等しいことを証明するんです。

生徒　：　でも、【方程式を証明したり、恒等式を解いたりする人】もいませんか？

先生　：　そんな生徒が出現（advent）するのは【教師が間違っているから】です。…

生徒　：　方程式と恒等式が分かれば、どんな効用があるんです？

先生　：　【理論経済学】が【理解できます】！』

一見困難なことも、自分が得意な形に持ち込めば、簡単になる！

いかがでしょうか？

今回ご紹介させていただく書物は、２００１年に発刊されたもので、“ゆとり教育”という、後の世に大きな災いをもたらす害悪が蔓延しつつある頃に書かれた書物で、「数学」というものが如何に教育において重要であるのかが、よく理解できる良書となります。

さて、昨日に続いて、「方程式」と「恒等式（こうとうしき）」のお話になりますが、「特定の数値のときにだけ成立する」のが「方程式」で、「どんな数値のときにも成立する」のが「恒等式」で、その違いが歴然としていることが御理解頂けましたでしょうか？

そして、「方程式」は「解く（解を求める）」ためのものであり、「恒等式」は「証明する」ためのものであるという決定的な違いについても、しっかりと記憶しておいてください。

そう言えば、さきほどの次の二次方程式を、

昨日やった「平方完成」を使って、復習のつもりで解いてみましょう。やり方は簡単で、元の二次方程式の中に無理矢理、簡単なパターンを作り出して解を求めるだけです。

それでは、参ります！

と表現し直して、真ん中の（-5）ところを「２で割って２を掛ける」、さらに、「足りないものを足して、引く」と、

となります。｛　　｝の部分はまとめることができますので、

となり、あとは最後まで解くだけで、

となることになります。

さて、本文中の最後のところで、「方程式」と「恒等式」が理解できていれば、「理論経済学が理解できる」と書かれておりましたが、一体、どのような展開になるのかは、次回以降のお楽しみということで💗　ここからは、一昨日の続きに入らせて頂きます。

いま、特別な数であるネイピア数「e」を底とする対数について考え、

※教科書などでは、次のような記号で表現されている「自然対数」と呼ばれるもの

それを微分する（＝導関数を求める）と、

となり、つまり、『「q」の中に入っているもの（が何であろうと）に関する微分（＝導関数）は、中に入っているもの“分の「１」”になる』ということが分かりましたが、

※教科書などでは、次のように記述（→「アベノミクス」・「アベノミカ」・「アベコノミクス」が、ようやく出来たこと、“ゆとり教育”と“買春”事務次官という害悪）

その「自然対数」と呼ばれるものを、どのように“計算”すれば良いのかが、分からないため、

次のような函数（関数）を用いて、「自然対数」の求め方を考えているところになります（→財務省官僚が「ダメになる理由」と「ダメな理由」）。

という数式は、

という数式を簡単に表現しているだけ（→１から順に無限まで足していったら・・・いくつになるの？、安倍政権の「社会主義政策」と「算数」すら理解できない全野党　～　国会議員は「おバカ」しかいない？）なのですが、

を１回微分すると、

となることは分かっていて、そこから「xがゼロ」とすると、「無限大」が登場してしまって計算不能になってしまい、冒頭から行き詰まってしまいました。

そこで、ほんのチョコっとだけ異なった場合について考えてみようと思い、次のような場合に、同じことをやったら、どうなるのか？を試してみようとしているところになります。

これを微分する（＝導関数を求める）とどうなるのかは知りませんが、「xがゼロ」だと、

となることは分かっています。

それでは、参ります！

同様に、次のような形の函数（関数）に入れると、

となりますが、これは、

という数式を簡単に表現しているだけのことです。ここで、「xがゼロ」だとどうなるでしょうか？

その答えは、次のようになります。

おや？

もう、お気付きだと思うのですが、前回行き詰まってしまった、

を入れた次の函数（関数）で、

別の表現で表すと、

となるのですが、この元の函数（関数）で「xがイチ」の場合を考えるのと同じことになっています。ということは、「ｑ（ｘ+1）」の「ｘ＝0」におけるすべての微分係数を求めることと、元の函数（関数）である「ｑ（ｘ）」の「ｘ＝1」における微分係数を求めることとは、同じということになりますので、すべての「n」について、